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数的推理

平均算【数的推理】

 

ヤット
本日の記事では「平均算」について解説していきます!

 

あなたは平均と聞いてどんなものを思いつくでしょうか?

公務員試験を受ける予定のあなたなら得点のような問題を想像したのではないでしょうか?

平均の問題とは、得点に限らず様々な問題に姿を変えて出題されます。

 

この記事で学べること

①平均算とはどんな問題か

②平均算の解法パターン

 

それでは解説していきます。

 

平均算の問題

【問題例】

野球部員30人にの平均身長は175cm、バスケットボール部員20人の平均身長は180cmである。これらにバレーボール部員20人を加えた3つの部員全員の平均身長は178cmであった。このとき、バレーボール部員平均身長は何センチか。

【選択肢】

1、179.0センチ

2、179.5センチ

3、180.0センチ

4、180.5センチ

5、181.0センチ

 

キー
登場する人数が多すぎて計算が大変そう^^;

 

人数は問題によって様々ですが、解法パターンに従って解くことによって難なく解けます。

 

平均算の解法パターン

 

平均算の解法パターン

1、総数を考える

(1)平均×個数で方程式

(2)全ての和で方程式

2、2つの平均→2つの中央値

3、3つ以上の平均→平均を超える値の合計と足りない合計が同じになるところ

 

順番に解説していきます。

 

1、総数を考える

平均算において総数は大変大きな役割を果たします。

何故なら総数が不明なまま答えを出すことは不可能に近いからです。

この総数の出し方にも2種類あるのでそれぞれ解説していきます。

仮に下記のような数値が判明しているとしましょう。

・A〜Cさんの3人が居る

・身長はぞれぞれ170cm、175cm、180cmである

・3人の平均身長は175cmである

 

ここから2種類の平均値を出していきます。

 

(1)平均×個数で方程式

ここで登場する個数とは、問題にもよりますが人であったり物であったりです。

今回の例ではA〜Cさんという人なので個数は3になります。

平均×個数で方程式を立てた場合がこちら。

175×3=525

525という数字が総数になります。

 

(2)全ての和で方程式

全ての和とは、登場している人や物の数値の和になります。

A〜Cさんまでの身長はそれぞれ、170cm、175cm、180cmなのでこれらを全て足すと、

170+175+180=525

平均×個数で方程式で出した数値と同じ525という数値が出ましたね。

 

キー
意外と簡単だにゃ!

 

ヤット
でしょ!平均算の問題はとりあえず初めに総数を出しておきましょう。

 

2、2つの平均→2つの中央値

2つの数値の平均を求める場合は、2つの数字の中央値の数値が平均値となります。

例えば、170cmの人と180cmの人が居た場合平均値はいくらいになるでしょうか?

 

キー
175cmだにゃ!

 

その通りです。

これを式にしてみると下記のようになります。

単純に2つの数値を足して2で割ればちょうど半分になり、その数値が平均値となるわけですね。

グラフに表すと下記のようになります。

 

グラフで表すと、170からも180からもちょうど5ずつ離れた場所(中央値)が平均となっています。

 

3、3つ以上の平均→平均を超える値の合計と足りない合計が同じになるところ

キー
何いってるか全く分からないにゃ^^;

 

この考え方は少し特殊ですが、知っておいて損はないので解説しておきます。

この解法パターンを使う問題の多くは身長の問題で出題されることがあります。

仮にA〜Dの4人が居たとしましょう。

その4人のそれぞれの身長は下記の通りです。

・A 168cm

・B 170cm

・C 180cm

・D 182cm

 

ここからはグラフで考えていきます。

A〜Dの4人はそれぞれこのような位置関係です。

先に言っておきますが、この平均値は175cmになります。

この平均値からA〜Dの4人の差を考えてみましょう。

それぞれの差を求めると下記の通りになります。

・A -7

・B -5

・C +5

・D +7

この数値を全て足すといくらになるでしょうか?

 

キー
0になるにゃ!

 

その通りですね。

この0こそが、平均を超える値の合計と足りない合計が同じになるところになるわけです。

もう少し整理すると、

このようになります。

この解法パターンが登場する回数はそれほどありませんが、このパターンを知っているだけで素早く解けるのでしっかりと理解しておきましょう。

 

実際に問題を解いてみよう

 

ヤット
それでは今まで学んできた解法パターンを使って問題を解いていきましょう!

 

【問題例】

野球部員30人にの平均身長は175cm、バスケットボール部員20人の平均身長は180cmである。これらにバレーボール部員20人を加えた3つの部員全員の平均身長は178cmであった。このとき、バレーボール部員平均身長は何センチか

【選択肢】

1、179.0センチ

2、179.5センチ

3、180.0センチ

4、180.5センチ

5、181.0センチ

 

ヤット
平均算の問題は「平均を求めよ」という言葉が入っているので簡単に判断できます。

 

総数を考える

 

ヤット
平均算と分かればとにかく総数を求めましょう!

 

バレーボール部の平均値を求めなければなりませんが、まずは総数ですね。

この問題で少しややこしいのが、野球部、バスケットボール部、バレーボール部の3つの平均と、全て合わせた平均の数値が出ています。

解法パターンで欲しい総数とは、全て合わせた数値なので勘違いしないようにしましょう。

3つ合わせた部員全員の平均値は178cmで、部員全員で70人います。

あなたなら、ここからどうやって総数を出しますか?

 

キー
平均×人数をすれば総数が出るにゃ!

 

その通りです。

178×70=12460

12460が総数になります。

条件を整理する

総数が分かったので、それぞれ3つの部員の総数を求めておきましょう。

問題で聞かれているのは、バレーボール部員の平均値なので分からないものには文字を入れておきましょう。

全ての和で方程式

ここまでで情報を整理しておきましょう

・野球部の総数 5250

・バスケットボール部の総数 3600

・バレーボール部の総数 20x

・3つの部員の総数 12460

 

3つの部のぞれぞれの総数が12460になるわけですから、これを方程式として式を立てると下記のようになります。

 

ヤット
これでxの数値を出せそうですね^^

 

180.5という数値が出ました。

選択肢を確認すると選択肢4が正解になります。

 

まとめ

本日に記事はここまでになります。

おさらいです。

平均算の解法パターン

1、総数を考える

(1)平均×個数で方程式

(2)全ての和で方程式

2、2つの平均→2つの中央値

3、3つ以上の平均→平均を超える値の合計と足りない合計が同じになるところ

 

平均の問題は、得点や身長を元にして出題されることが多く「平均を求めよ」という言葉もありますので平均算と一瞬で判断できる問題です。

また、総数さえ求めてしまえばそこから方程式を立てるだけなので簡単に解けてしまいます。

是非、平均算を自分の得点源にしてください。

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