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判断推理

集合【判断推理】①

 

ヤット
今日の記事では「集合」の問題を解説していきます。

 

この記事で学べること

①集合とはどんな問題か

②集合の解法パターン

 

集合の問題は「全体」と「要素」と呼ばれるもので構成された問題になります。

集合と聞いて人が集まってくるような光景をイメージした受験生も居るのではないでしょうか?

集合の問題は自分で図を書いたり、計算をする必要があります。

それでは早速解説していきましょう。

集合の問題

 

ヤット
集合の問題は3つの種類に分けられます!

 

①要素が3つまで

【問題例】

クラス48人について所持品を調べたところ、次のことがわかった。このとき、くしも辞書もCDも持っている者は何人か?

ア、くしを持っている者・・・35人

イ、辞書を持っている者・・・30人

ウ、CDを持っている者・・・15人

エ、くしと辞書を持っている者・・・20人

オ、くしとCDを持っている者・・・10人

カ、辞書とCDを持っている者・・・8人

キ、くしも辞書もCDも持っていない者・・・2人

【選択肢】

1、2人

2、3人

3、4人

4、5人

5、6人

 

ヤット
この問題の要素=ものはくし、CD、辞書の3つです。

②要素が4つ以上

【問題例】

あるパーティーが催され、60人の人が集まった。その中で日本人は42人、男性は46人、子どもは15人であった。また、日本人の男性のうち子どもは4人、そして日本人のうち大人の女性は8人で、また外国人のうち女性は子ども3人だけであった。以上のことから、確実にいえるのはどれか。

【選択肢】

1、日本人の大人は34人であった。

2、外国人の大人は10人であった。

3、外国人の男性のうち子どもは4人であった。

4、子どもは日本人のほうが外国人より多かった。

5、日本人の子どもは男女同数であった。

 

ヤット
この問題の要素=登場人物は日本人、外国人、大人、子ども、男性、女性の6つです。

 

③少なくとも

【問題例】

あるクラスで、スキーをしたことのある人は22人、スケートをしたことのある人は30人いた。クラス全体は40人であるとすると、スキーもスケートも両方したことのある人は少なくとも何人いることになるか。

【選択肢】

1、9人

2、12人

3、15人

4、18人

5、21人

 

ヤット
要素はスキーとスケートのみですが、「少なくとも」という数字を聞かれています。

 

以上が集合の問題になります。

 

受験生
集合にこんな種類があったなんて知りませんでした(~_~;)

 

順番に解説していきます。

集合の解法パターンを解説

集合の解法パターンは以下の通りです。

 

集合の解法パターン

1、要素が3つまで→ベン図の利用

(1)全体集合ー補集合

(2)部分集合の和

(3)1要素の和ー2要素の和+3要素の和+補集合

2、要素が4つ以上→樹形図の利用

3、少なくとも→線分図の利用

(1)線分の重なりを考える

(2)最大→多くても〜同じ側から考える

(3)最小→少なくとも〜反対側から考える

詳しく解説していきます。

 

要素が3つまで→ベン図の利用

要素が3つまでならベン図を使って問題を解いていきます。

そもそもベン図というものを知っていますか?

このような図になります。

 

キー
初めて見たにゃ!

 

要素が3つまでの問題はこのベン図で考えると簡単に解けてしまいます。

下記のベン図を見てください。

これらの要素は公式を使えば、それぞれので数字を出すことができます。

 

(1)全体集合ー補集合

全体集合とはその名の通り全体の数に、上記のベン図ではmの部分になります。

補集合とは、ベン図に含まれない数、つまりa〜cのベン図以外のlになります。

a−lの数字が全体数となります。

全体数が不明な限り、集合の問題は絶対に解けません。

まずは全体集合を求めましょう。

 

(2)部分集合の和

部分集合とはどの位置を示しているでしょうか?

例えばaの部分集合を考えてみましょう。

aの部分集合はピンクのマーカーで囲まれた部分になります。

しかしこれでは部分集合にはなりません。

何故なら、部分集合とはaのみの数を表している数になります。

 

キー
と言うことは、d、e、fの数が余計ってことかにゃ?

 

ヤット
その通りですね!余計なd、e、fの数を取り除いて考えましょう。

ベン図で表すと上記のようになります。

 

(3)1要素の和ー2要素の和+3要素の和+補集合

全体集合の数は、1要素の和ー2要素の和+3要素の和+補集合で表すことができます。

一旦、数を整理しましょう。

・a=h+d+e+f(1要素の和)

・b=i+d+e+g(1要素の和)

・c=j+f+e+g(1要素の和)

・d+e(2要素の和)

・e+f(2要素の和)

・e+g(2要素の和)

・e(3要素の和)

・l(補集合)

・m(全体集合)

公式で表すと下記の通りになります。

m=(a+b+c)−(de+fe+ge)+e+l

 

ヤット
この公式を覚えておくだけで、問題を解けたりするので覚えておいて損はなしです!

 

要素が4つ以上→樹形図の利用

要素が4つ以上の問題が出題されれば樹形図を使いましょう。

樹形図とは木の根のようにどんどん根を伸ばしていくように図を書いていきます。

例えば下記のような問題があるとしましょう。

・ある部屋に30人の人がいた

・日本人とアメリカ人がいる、アメリカ人は17人

・男性と女性がいる、男性は15人

・大人は10人

このような問題を樹形図で表すと下記のようになります。

 

キー
横に木の根っこが伸びているように見えるにゃ^^

 

最終的に大人と子どもにa〜hまでの文字を振っていき、これを方程式にして解いていきます。

要素が4つ以上になってくると情報を整理することが困難になってきます。

樹形図を書くことによって情報が格段に整理しやすくなるのでおすすめです。

 

注意ポイント

要素が4つ以上の問題を解く方法には「キャロル図」を使った解法もあります。このキャロル図は絶対に使ってはいけません。理由は簡単でとにかくややこしいのです。時間だけがかかるので、絶対に樹形図を使いましょう。

 

少なくとも→線分図の利用

集合の中には最小人数を求める問題があります。

集合の問題で「少なくとも」というキーワードがあれば、線分図で解いていくと思っておいてください。

 

(1)線分の重なりを考える

線分図で問題を解いていく際は、線分の重なりを考えていきます。

このような図で重なった線分を考えていきます。

 

(2)最大→多くても〜同じ側から考える

例えば10人中aと言う商品を買ったのが4人、bと言う商品を7人が買ったとします。

 

aとbを買った最大人数を求めるには同じ側から考えれば人数が出ます。

aとbを買った人の重なりは4人分あるので、最大人数は4人になります。

 

(3)最小→少なくとも〜反対側から考える

最大人数を求める方法とは逆になります。

aとbの商品を買った人を反対側から考えていくと、aの商品を買ったのは4人で6人は買っておらず、bの商品を買ったのは7人で3人買っていないことがわかります。

そしてaとbの商品を買った人数がどうしても重なる場所があります。

これこそが「少なくとも」1人がaとbの商品を買った人数だと言うことになります。

 

ヤット
線分図でと解く問題は基本的に「少なくとも」を求める問題だと思っておいて大丈夫です。

 

まとめ

今日の記事はここまでになります。

ポイントのおさらいです。

ポイント

1、要素が3つまで→ベン図の利用

(1)全体集合ー補集合

(2)部分集合の和

(3)1要素の和ー2要素の和+3要素の和+補集合

2、要素が4つ以上→樹形図の利用

3、少なくとも→線分図の利用

(1)線分の重なりを考える

(2)最大→多くても〜同じ側から考える

(3)最小→少なくとも〜反対側から考える

 

集合の解法パターンは大きく3つです。

集合の問題はこの3つを押さえておけば絶対に解けるので、これ以外の解き方はしないでおきましょう。

次回の記事では実際にこの3つの解法パターンを使って問題を解いていきましょう。

 

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