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判断推理

天びん【判断推理】

ヤット
今日は天びんの問題を解説していきます。

 

この記事で学べること

・天びんの問題がどんなものか

・天びんの問題の解法パターン

 

天びんの問題には解法パターン以前に公式が存在しています。

その公式とは以下のようなものです。

このように公式が存在しますが、はっきり言ってこんな公式は一切使いません。

理由は簡単で、ただ単に数字や記号の羅列は暗記していられないからです。

しかし、巷にある参考書の天びんの問題の解説には、この公式が載っている場合が数多くあります。

そのため初心者の受験生が理解できないまま試験本番を迎えてしまうという事態になっています。

公務員試験道場では、公式は一切使わずパターンを解説していきます。

天びんの問題

早速、天びんの問題を確認していきましょう。

【問題例】

同じ形で同じ大きさの物体が17個ある。この中に1個だけ他より軽いものが紛れ込んでいる。天びんのみを使用して、この軽い1個を見つけ出したい。少なくとも何回天びんを使用すればよいか。

【選択肢】

1、2回

2、3回

3、4回

4、5回

5、6回

 

これが天びんの問題になります。

ちなみに公式の考え方では、「N個の中の1個が軽い(重い)ときの最小回数は、(公式)ならn回である。」となります。※公式の部分に上記で説明した公式が入ります。

 

キー
確かに公式に数字を当てはめていく自信がないかにゃ(~_~;)

 

天びんのパターン

天びんの解法パターンは2つあります。

天びんのパターン

①1つを見つける→3分割して考える

②2つを見つける→矛盾を見つける

 

以上の2つになります。

順番に解説していきます。

①1つを見つける→3分割して考える

天びんの問題=3分割すると思ってもらっても過言ではありません。

3分割して考える場合は重さの違う1つだけを見つけるときです。

 

キー
意味が分からないにゃ!

 

ヤット
詳しく解説していきましょう!

 

例えば下記のような問題があったとしましょう。

9枚の同じ大きさのコインがある。この9枚のコインのうち1つだけ軽いコインが混ざっている。この軽いコインを天びんを使って見つけたい。偶然でなく見つけ出すためには最低何回天びんを使用すればよいか。

この問題を一緒に考えていきましょう。

このような問題は天びんの典型的な問題になります。

天びんの問題だと判断するためには3のキーワードがあります。

・1つだけ軽い(重い)

・天びんを使って

・偶然でなく

この3つのキーワードがあれば「3分割だな♪」と思いましょう。

まず、言葉通り3つに分けて考えていきます。

仮に9枚のコインをA〜Iだとします。このコインを3分割すると下記のようになります。

 

まずA〜CとD〜Fを天びんに乗せ、G〜Iはとりあえず残しておきます。

この場合、以下の場合が考えられます。

①A〜C<D〜F

②A〜C>D〜F

③A〜C=D〜F

 

①A〜C<D〜Fの場合

この場合はA〜Cの中の1つに軽いコインが含まれています。

 

②A〜C>D〜Fの場合

この場合はD〜Fの中に1つだけ軽いコインが含まれています。

 

③A〜C=D〜Fの場合

G~Iの中に1つだけ軽いコインが含まれています。

 

①A〜C<D〜Fの場合から考えていきましょう。

A〜Cの中に軽いコインが含まれているのでこの3枚をまた3分割していきます。

AとBを天びんの乗せ、Cは置いておきます。

この場合は以下のような場合が考えられます。

①A<B

②A>B

③A=B

 

①A<Bの場合

Aが軽いコインと判明。

 

②A>Bの場合

Bが軽いコインと判明。

 

③A=Bの場合

AとBが同じ重さで、1つのみ軽いのでCが軽いと判明。

 

ヤット
ここまで天びんを使った回数を調べてみましょう。

 

1回目:9枚のコインを3・3・1で分ける

2回目:3枚のコインを2(AとB)・1(C)で分ける

 

つまり2回で軽いコインを見つけることができました。

ちなみに、②A〜C>D〜F場合でも、③A〜C=D〜Fの場合でも2回で軽いコインを見つけることができます。

 

キー
同じ要領で考えれば軽いコインを見つけることができるにゃ^ ^

②2つを見つける→矛盾を見つける

この「矛盾を見つける」パターンは本日の記事では割愛します。

理由としては問題によってパターンが変わってくるため1つだけのパターンを解説できないのです。

今後、実際に本番の試験で出題された問題を使って解説していきます。

 

ヤット
とりあえず初めのうちは3分割できるようになっておけば大丈夫ですよ。

 

実際に問題を解いてみよう

 

ヤット
それでは先程のパターンを駆使して実際に問題を解いていきましょう!

 

【問題例】

同じ形で同じ大きさの物体が17個ある。この中に1個だけ他より軽いものが紛れ込んでいる。天びんのみを使用して、この軽い1個を見つけ出したい。少なくとも何回天びんを使用すればよいか。

【選択肢】

1、2回

2、3回

3、4回

4、5回

5、6回

 

まずはキーワードを確認してみましょう。

・同じ大きさ

・1個だけ他より軽い

・天びんのみを使用

・少なくとも=偶然でなく

問題文の中にこのようなキーワードがあれば天びんの問題と判断できますね。

それではどんどん解いていきましょう。

17個を3分割にする

早速3分割にしていきましょう。

このようになります。

 

キー
なんで5・5・7で分けるのかにゃ?

 

3分割にする場合は極力数が同じように分けるのが賢明でしょう。

どれかの天びんが極端に数が多くなると何回も天びんで比べることになってしまい、ミスしやすくなってしまいます。

3分割にする場合はできるだけ均等に数を分けましょう

 

注意ポイント

今回の問題では比べるものが17個もあります。この物体全てにアルファベットを振っていくととんでもなく時間がかかってしまいます。比べる物体が多い場合は数字で表しましょう。

それぞれの場合を考える

今回の問題の場合は以下の通りです。

①5<(>)5

②5=5

以上の2つになります。

順番に考えていきましょう。

 


①5<(>)5の場合

5・5の天びんでどちらかが下がった場合は下がった5個の物体の中に軽い物体が含まれています。

5を3分割していきます。

5を2・2・1で分けていきましょう。

この天びんをさらに場合分けすると下記のようになります。

①2<(>)2

②2=2

 

2<(>)2の場合

2・2の天びんのどちらかが下がった場合は、下がった側に軽い物体が含まれています。

そしてこの次に下がった方の物体2つを比べれば軽い物体が判明します。

 

2=2の場合

2・2が釣り合った場合は、残った1が軽い物体と判明します。

 

以上が5<(>)5の場合です。

この時点で何回天びんを使用したか確認してみましょう。

1回目:17個の物体を5・5・7で分け、5と5を比べる

2回目:5個の物体を2・2・1で分け、2と2を比べる

3回目:2個の物体を1・1で分ける

 

ヤット
3回で軽い物体が判明しましたね。

 

キー
ちょっと待った!2=2の場合は2回目で軽い物体が判明してるにゃ!

 

確かに、2=2の場合は2回で軽い物体を見つけています。

しかし、考えてみてください。

この2=2に確実になると言えますか?

 

キー
ん〜、なる場合があるかにゃ^^;

 

その通りです。なるかもしれないし、ならないかもしれないのです。

つまり確実には言えないので、2=2にならない場合も考えておく必要があります。

問題文に「偶然でなく」や「少なくとも」というキーワードは確実に言えないものは考えないということを言っているようなものなのです。


②5=5の場合

5と5が釣り合った場合は、残りの7の中に軽い物体が含まれています。

7を3分割にしていきましょう。

 

2・2・3に分けていきます。

次に場合分けしていきましょう。

①2<(>)2

②2=2

以上の2つになります。順番に考えていきましょう。

 

①2<(>)2の場合

2・2のどちらかが下がった場合は、下がった方に軽い物体が含まれています。

2の場合は3分割できませんので、この時点でどちらかが軽い物体と判明します。

 

②2=2の場合

2と2が釣り合った場合は残りの3の中に軽い物体が含まれています。

3を3分割すると下記の通りになります。

さらに場合わけしていきます。

①1<(>)1

②1=1

 

①1<(>)1の場合

1・1のどちらかが下がった場合は、どちらか一方が軽い物体と判明します。

 

②1=1の場合

1・1が釣り合った場合は、残りの1が軽い物体と判明します。

ここまでで天びんを何回使用したか確認してみましょう。

1回目:7を2・2・3に分け、2と2を比べる

2回目:3を1・1・1に分け、1と1を比べる(2<(>)2の場合は省略)

 

ヤット
2回で軽い物体を見つけることができましたね^ ^

17個の物体を3分割すると、5=5の場合は2回で軽い物体を見つけることができましたが、これは確実には言えません。

5<(>)の場合も考えられるので、少なくとも3回で軽い物体を見つけることができます。

答えは選択肢2が正解です。

天びんの問題を解く際の全体像

ここまでは初心者のあなたにも分かりやすく伝えるために詳しく書いていましたが、実際にはもっと雑に書きます。

参考に全体像をご覧ください。

 

ヤット
僕が解くならこんな感じで書いておきます。これで3分以内に解けています。

 

まとめ

天びんの問題はとにかく3分割にして考えていきましょう。

矛盾がないか確認するパターンは、3分割にする考え方が完璧に解けるようになってからでも遅くはありません。

 

ポイント

・天びんのパターンは2つ

・天びんに偶然はない

・分けるときは極力数を合わせておく

・公式は一切使わない

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