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数的処理

立体構成【空間把握】

ヤット
今日は立体構成のパターンを解説していきます。

 

キー
立体ってことはブロックみたいな問題かにゃ?

 

ヤット
うん。そんな感じですね!

今回もコツさえ掴めば、絶対に得点に結びつくのでしっかりと理解していきましょう。

 

立体構成は、様々な形のブロックが重なりあっっている状態を自分でイメージでしながら、解いていく問題です。

立体構成は、自分で図形を書いていく問題なので、そのコツを解説します。

 

本記事の内容

①パターンの解説

②問題例を使って解説

それでは解説していきましょう。

立体構成のパターン

立体構成のパターンは以下の通りです。

①内部を調べる→1段ずつスライスする

②番号を振って図形をはめ込んでいく

③図形を後ろから見た図を考える→長さの矛盾を考える

以上の3つになります。

 

ヤット
立体構成はよりイメージすることを要求されます。

しっかりと学習していきましょう。

問題例を使って解説

問題を見てみましょう。

【問題例】

Aのブロック1個といくつかのBのブロックをすきまなく積み上げて図のような立方体を作った。これを矢印の方向から見るとどのように見えるか。ただし、上面は黒く塗られていてブロックの並び方はわからない。

パターンに従って順番に解説します。

この問題の難しい部分は、以下の2つです。

・自分で裏側の図形をイメージしなければならない

・上面の並び方がわからない

この2つですが、パターンに従っていくと簡単に解けます。

ちなみに選択肢に書いてある5つの図形は全て裏側から見た図形ですので、最後の最後で混乱しないようにしましょう。

内部を調べる→1段ずつスライスする

キー
スライスするってイメージが湧かないにゃ

 

確かに図形をスライスすると言っても、図形によっては方法が違います。

今回は3×3の立方体なので、簡単です。

下記の図形を見てください。

ピンクの線で書いた部分にナイフで切り込みを入れるようなイメージです。

上から3段目、2段目、1段目と言います。

実際にスライスしてみましょう。

 

 

キー
ちょっと待つにゃ。

この図形は1×1と2×1の図形の集合体でしょ?

これは1×1の図形になってるにゃ!

 

ヤット
特殊な考えですが、基本的にどんな図形でも1×1の線を書いておきます。

何故なら、いきなり条件通りのブロックの配置を考えていくと時間がかかるからです。

 

まず、3段目の上部が黒く塗られて配置が不明です。

かと言ってブロックを1個ずつ書いて配置を考えていうと、大きさが合わなくなり時間がかかってしまいます。

仮に上部が黒く塗られていない場合でもとりあえず1×1の線を書くようにしてください。

練習でも本番の試験でも同じように線を書いておくことによって、心も落ち着けることができます。

ヤット
一度やってみると、どれだけやりにくいか分かりますよ。

 

ここで皆さんに質問です。

上記の図形は3段目です。

このあと1〜3段目までの図形を書けますか?しかも3分台で。

答えはNOでしょう。

こんな図形を何個も書くような時間ありません。

そこで、下記のような図形に変えておきます。

 

先ほどは立体的に書きましたが、そのままぺしゃんこにするイメージです。

これなら、3つの図形を書けそうですね。

早速書いてみましょう。

 

キー
頂点部分に点線が書いてるけどなににゃ?

 

これはあっても無くても良いんですが、上下の繋がりが分かりにくいため書いています。

やはり図形同士が離れているので、どうしても繋がりが微妙になってきます。

そんな時に位置関係を明確にするために点線を書いています。

「無くても分かるよ!」という人は何も無しで解いてもらっても構いません。

番号を振って図形をはめ込んでいく

さて、ここまででやっとスライスの作業が完了しました。

ここからは、いよいよ2つの種類の図形を考えていきます。

図形をはめ込んでいく作業は、必ず簡単にわかる部分から始めていきましょう。

もう一度問題の図形を見てみましょう。

この図形を見て一瞬でどの図形がはまっているか分かる部分があります。

皆さんは分かりますか?

答えはこうなります。

 

ピンクで囲んだ部分がすぐにどの図形がはまっているか分かる部分になります。

このままでは分かりにくいので、番号を振っていきましょう。

番号はどこから振っていっても構いません。

要は分かり易くするためだけです。

例えば、①の部分は3段目と2段目に渡って配置されています。

この位置に1×1の図形がくることはあり得ませんよね?

このように「この位置にはこの図形しかはまらない」というような部分をはめ込んでいきましょう。

この角度で確実に見える部分は①〜11の番号を振った部分です。

しかし、これで終わりではありません。

先程のスライスした図形に落とし込んでいきます。

ここからは少しコツが要りますので確執に理解するようにしてください。

①を例に考えていきましょう。

①の1×2の図形は3段目と2段目に位置しています。

分かり易くするために立体的な図形で表しています。

しかし、これを本番用の図形で表してみましょう。

このような図形になります。

立体ではなく平面なので、初めのうちは慣れないかもしれませんが数をこなしていけば慣れていきます。

注意ポイント

・図形の抜けを防ぐため番号は必ず振ること

・番号と合わせて、違う色を使って図形を表す

それでは、〜11まで一気に入れていきましょう。

 

番号とマーカーで示すと上記のような形になります。

見えている部分で埋められるのはここまでです。

 

キー
ちょっと待ってにゃ。

11まで一気に入れ込んだけど、何でそんな一気に入れられるにゃ?

 

良い質問ですね。

もう一度問題文を見てみましょう。

Aのブロック1個といくつかのBのブロックをすきまなく積み上げて図のような立方体を作った。これを矢印の方向から見るとどのように見えるか。ただし、上面は黒く塗られていてブロックの並び方はわからない。」

黄色のマーカーで示した部分に注目してみてください。

Aのブロックは1個しかありません。

ここが大きなポイントです。

このポイントから考えていきます。

Aのブロックを足掛かりに⑥と⑦の位置が判明しました。

⑥の位置には縦でブロックが置かれることはありません。

何故なら、2段目に既に③のブロックがあるため、縦に置くことはできません。

⑦についても同じ理由です。

そしてスライスすることによって内部の状態もよく分かりますね。

2段目の中央部分も埋まりますね。

 

12のブロックです。

そこから13、14のブロックも全て埋まります。

そして選択肢は裏側から見ているので180度回転させましょう。

後ろから見た図を考える→長さの矛盾を考える

さて、180度回転させると以下のようになります。

選択肢を確認すると、選択肢の1が正解になります。

長さの矛盾を考える【番外編】

今回の問題では長さの矛盾を考える必要はありませんでしたが、全てのブロックが埋まらない場合は選択肢から答えを見つけていかなければなりません。

仮に上記の問題の選択肢5を例に考えてみましょう。

ここで注目すべきは1段目の右端のブロックです。

何故、この部分に注目するかというと直方体の場合、見えていないブロックにも影響を及ぼすからです。

仮にこのような配置でブロックを配置すると下記のようになります。

このようにブロックの一部が飛び出てしまいます。

つまり、矛盾が生じます。

上級の試験では特に全てのブロックが埋まることは少ないので、このように自分で選択肢を見比べて長さの矛盾を見つけていく必要があります。

この方法も是非理解しておいてください。

まとめ

立体構成は裏側からイメージして答えを出したり、立体を変化させて平面で考えたりと、少し難易度が高いと思われるかもしれません。

しかし、これもそれだけ問題を解いていくかだけです

要は慣れですね。

仮にブロックを全て埋めずとも、長さの矛盾から答えを出すことも可能です。

この方法は一般の受験生の中ではあまり知られていないことなので、この記事を読んだ皆さんは一歩リードしていますよ。

 

ポイント

・スライスした場合は立体ではなく、平面で考える

・番号を振る

・ブロックを入れていくときは色を変える

・ブロックが埋まらない場合は、選択肢も積極的に比べてみる

 

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